La logique des langues naturelles

mise à jour: mai 2004, Françoise Labelle
La nouvelle section est à partir d'ici

Le terme «langue naturelle» s’oppose au terme «langage artificiel» qui est utilisé pour désigner les langages entièrement construits et codifiés de manière explicite tels qu’on les retrouve en mathématique et en informatique. Dans le cas des langues naturelles, aucune académie n’a décidé de leur structure au départ.

Les langages artificiels présentent pour nous l’intérêt suivant : ces langages ont été construits en isolant un sous-ensemble très restreint de propriétés des langues naturelles, par  ex : & et, \/ ou, -> si,<-> seulement si, ~ ne pas) qu’on a analysé très soigneusement. Les questions qui nous intéressent en sémantique sont :

  1. quelles parties du sens des connectifs (conjonctions) a-t-on isolé?
  2. quelles sont les différences entre les connectifs logiques et leur équivalent en français ?
  3. peut-on généraliser les techniques d’analyse utilisées en logique à l’ensemble des langues naturelles (créer une logique naturelle en somme, d’où le titre de la section)?

Nous présenterons les techniques logiques qui nous concernent directement (validité des inférences) à partir du cas le plus simple: la logique propositionnelle (sens des connectifs logiques &, \/, ->, <-> ~, validité des inférences, technique des arbres). Nous ferons des exercices de traduction en logique propositionnelle ce qui nous amènera à souligner les aspects propres aux langues naturelles. Nous introduirons brièvement l’aspect pragmatique, sur lequel nous reviendrons en détail plus tard. Nous examinerons de manière approfondie les différences entre les connectifs logiques et leur contrepartie en français.

Nous aborderons le calcul des prédicats en indiquant comment la technique des arbres peut être généralisée à la validité des inférences contenant des quantificateurs. Nous introduirons les quantificateurs généralisés, mieux adaptés pour traduire les déterminants et les adverbes du français. Nous examinerons la question de la référence. Si le temps le permet, nous parlerons des développements modaux, déontiques et la logique du temps et de l’aspect.

Enfin, nous terminerons avec les aspects pragmatiques que nous examinerons en détail.

Un peu de vente Il se peut que ce qui précède ne vous a pas convaincu. On peut ajouter cette straégie d'argumentation que Piatelli Palmerini (L’art de persuader) nomme argument d'autorité:

Argument de vente A : Pour ceux qui souffrent du «complexe des provinciaux», voici les cours de sémantique offerts dans les programmes de linguistique (bac.) un peu partout:

Argument de vente B : La moitié (sinon plus) des manuels de sémantique récents contient une bonne partie portant sur la logique. Certains manuels de sémantique portent exclusivement sur les aspects logiques.

Argument de vente C : En psychologie, les règles d’inférence qu’on retrouve dans les langues naturelles sont depuis longtemps un objet de recherche. Les théories propositionnelles utilisées pour représenter les textes en mémoire sont dérivées de la logique. En littérature, plusieurs volumes portent sur la pragmatique et la littérature ou sur l’argumentation dans les textes. Évidemment, en informatique, la logique est omniprésente (le nom du langage Prolog vient de programmation en logique).

Les types de logiques

Il y a plusieurs types de logiques. Elles se distinguent selon les aspects sur lesquelles elles se concentrent. En se restreignant aux applications linguistiques, on retrouve les grands groupes suivants :

Pour la plupart de ces logiques, la démarche est identique : 1. on donne un sens très précis à certains mots importants (ex : non, et…), 2. on fournit un algorithme permettant de décider de la validité des inférences et 3. on donne des règles de déduction permettant de construire des preuves (théorie de  la preuve). La théorie de la preuve concerne plus le logicien. Nous verrons en détail les aspects 1 et 2 en partant du cas le plus simple : le calcul des propositions.

L’objet de la logique est relativement simple : caractériser d’une façon générale le concept d’inférence valide.
François Lepage, Éléments de logique contemporaine.

[M.Piatelli Palmerini, L’art de persuader, au sujet d’un passage de La Traviata de Verdi]

La forme logique qui persuaderait irrésistiblement Violetta serait la suivante :

Prémisse1 : L’homme est inconstant et volage lorsqu’il n’est pas retenu par les sacro-saints liens du mariage.
Prémisse2 : Alfredo est un homme.
Prémisse3 : Votre relation n’est pas et ne pourra jamais devenir un véritable mariage.
Conclusion : Tôt ou tard, Alfredo vous quittera.

Comme Piatelli Palmerini (ex-directeur du Centre de recherches cognitives du MIT, wow! Allah est grand !) le montre dans son volume, ouvrage destiné à l’enseignement de la persuasion dans les cours de marketing, l’Art de persuader est fait d’un ensemble de stratégies rhétoriques, logiques, psychologiques et de recours à des présupposés culturels. Les mots de la langue servent à raisonner en démontrant ou simplement à orienter sans démontrer. Dans cette partie, nous abordons cet aspect important de la sémantique, d’abord par le biais de la logique puis par celui des effets de sens (la pragmatique).

Le calcul des propositions

Phrase et proposition : La phrase est un concept linguistique pouvant être défini comme tout ce qui se trouve entre deux caractères séparateurs (ponctuation forte, séparation de paragraphe). Elle peut être longue et complexe et contenir plusieurs propositions.

Une proposition atomique est l’unité logique la plus petite (indécomposable). Sa forme varie selon le type de logique. Dans le cas de la logique propositionnelle, les propositions atomiques ne doivent plus contenir de connectifs logiques.

Par exemple, en logique propositionnelle, la phrase La table est large et ronde contient deux propositions (à cause de et):

La table est large & La table est ronde.

En logique propositionnelle, on ne va pas plus loin. Mais en logique des prédicats, La table est ronde serait décomposé en prédicat et argument(s) comme nous l’avons fait dans la première partie du cours. La logique propositionnelle ne va pas à l’intérieur des propositions comme le fait la logique des prédicats.

La logique propositionnelle

Objectifs : 1. décrire le sens de et, si , ssi, non, ou, 2. décrire la notion d’inférence valide, et ultérieurement de preuve. Prenons le court texte suivant, formulé en français un peu gauche, (pour mieux permettre la formalisation par les étudiants) :

On peut faire confiance à Saddam si on peut faire confiance à W et vice-versa. Si on peut faire confiance à Saddam ou à W, on peut faire confiance à Mario. Or, on peut faire confiance à Mario. Donc, on peut faire confiance à W.

Dans ce texte utilise qui des mots courants du français (et non des symboles mathématiques), certaines affirmations sont faites. La conclusion est-elle justifiée ? Découle-t-elle logiquement des prémisses ?

Deux exemples plus évidents :

Lorsque les Beatles sont sur scène, la foule est en délire. La foule n’est pas en délire. Donc, les Beatles ne sont pas sur scène.

Les chats aiment le PousseUnBoute. Socrate est un chat. Donc Socrate aime le PousseUnBoute.

Autre exemple plus littéraire et plus près, tiré de l’essai Mon Allemagne de Robert Dôle :

Si les autres américains de ma générations avaient été pacifistes comme moi, la guerre du Vietnam et du Golfe n’aurait pas eu lieu, la Palestine aurait été un pays indépendant et paisible depuis cinquante ans et le monde n’aurait pas à faire face à la menace de sa disparition permanente.

La prémisse les autres américains de ma générations n’ont pas été pacifistes, est, comme on le verra une conclusion pragmatique de l’emploi du plus-que-parfait (en deux mots,  si les autres américains avaient été pacifistes, il aurait utilisé le passé composé plutôt que le plus-que-parfait. Le modèle de ce type de raisonnement valide est P-> Q, ~P |- ~Q .

Nous allons voir comment on peut répondre à cette question systématiquement ou à d’autres du même type, si on interprète les connectifs en terme de d’opérations sur les valeurs de vérité des propositions. Dans ce modèle simple, le sens des connectifs donné par les tables de vérité. Ces tables permettent de calculer le sens de n’importe quelle proposition complexe à partir des valeurs de vérité des propositions et des valeurs des connectifs.

Traduction et valeur de vérité:

Le sens des connectifs logiques est donné par les tables de vérité. Ces tables décrivent tous les cas possibles et permettent de calculer le sens de propositions composées :

La négation ~ Il y a peu à dire sur la négation en logique propositionnelle, parce la négation ne peut porter que sur toute la proposition. Ce qui n'est pas le cas en logique des prédicats et dans les langues naturelles ou la négation peut porter sur plusieurs constituants. Ex: Un cargo n'est pas arrivé de Malte hier soir: Il n'est pas arrivé, Il n'est pas arrivé hier soir, Il n'est pas arrivé de Malte.

A

~A

V

F

F

V

La proposition ~A est vraie si A est faux et fausse si A est vrai. Le A en question peut être simple ou complexe. Ex. : ~ (B \/ C) est vraie si (B \/ C) est fausse.

Négation métalinguistique En logique propositionnelle, la négation porte sur toute la phrase. C’est celle que nous avons décrite comme la négation métalinguistique, utilisée pour nier en bloc une affirmation précédente. Elle se manifeste en français de diverses façons, entre autres:

- Il fait froid dehors.
- Non. Il ne fait pas froid dehors.=> ~ Il fait froid dehors.

Cette loi est inconstitutionnelle=> ~ Cette loi soit constitutionnelle

Il est faux que cette loi soit constitutionnelle=> ~ Cette loi soit constitutionnelle

La négation peut être réalisée morphologiquement (in- im- il- ir-), non préfixé ex : le non-être, ou syntaxiquement : ne…pas, il est faux que… :

Il est faux de dire que cet acte ne soit pas illégal. Cet acte est illégal.

J'irai marcher sauf s'il neige=J'irai marcher seulement s'il ne neige pas

J'irai marcher à moins qu' il ne neige:

Ne partez pas sans ailes!=Ne partez pas si vous n'avez pas d'ailes

La conjonction &

A

B

A & B

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

F

Et : «A & B» sera vrai si A est vrai et B est vrai, faux sinon. Les propositions A et B peuvent être simples ou complexes. Ex : Faire et laisser braire : F & L ; ne pas être trop pressé et, s’il y a une porte et un quadriplégique, lui ouvrir la porte : TP & ((P & Q) -> OP)

Il traduira aussi bien et que bien que, mais, quoique… : voici quelques manifestations linguistiques de &:

Tableau 4 [La logique du raisonnement, G. Doyon et P.Talbot]

Les expressions suivantes peuvent toutes servir de connecteur de conjonction entre les propositions p et q.

p et q
À la fois p et q
Non seulement p, mais aussi q
p, toutefois q
p, pourtant q
p, bien que q
p, quoique q
p, tandis que q
p mais q
p, de plus q
p, également q
p, malgré que q
p. Enfin q
p. Ensuite q
p. En plus q
p, encore que q
p. Qui plus est q
p. De surcroît q
p. Or q
p, alors que q
Etc.

Ex: Il m’a serré la main mais il ne m’a pas souri=>
Il m’a serré la main & ~ il m’a souri
M & ~S

On peut aller à la chasse et garder sa place=>
~(on va à la chasse & on garde sa place)
~(C & P)

Les conjonctions de constituants : Il arrive souvent mais pas toujours que les conjonctions de constituants se traduisent par une conjonction de propositions :

Les cas qui ne se traduisent pas par la conjonction de propositions indépendantes sont intéressants. Ils peuvent soit être expliqués par l’intervention de facteurs pragmatiques soit être traités dans une logique des types dans laquelle Pierre et Julie forme un constituant sémantique indécomposable.

D'autre part, sa table de vérité exige simplement la vérité des deux membres de la conjonction. Ce qui implique la commutativité : P & Q est logiquement équivalent à Q & P. Ce qui n’est souvent pas le cas dans les langues naturelles : BJ s’est déshabillé et a pris un bain.

Nous revenons sur ces différences entre & logique et et linguistique.

La disjonction \/

A

B

A \/ B

V

V

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

Ou : «A \/ B» sera vrai si l’un ou l’autre de A et B est vrai.

C’est le ou inclusif qui permet que A et B soient simultanément vrais. Ex : De la façon dont BJay s’entraîne il pourra participer aux championnats de Banff ou de Zermatt. Rien n’exclut qu’il participe aux deux.

Il y a un autre ou exclusif, symbolisé \/\/  :

Tu te fermes la gueule ou je sacre mon camp !

Certains auteurs pensent que l’aspect exclusif devrait relever de la connaissance du monde plutôt que de la sémantique. Ainsi, dans l’exemple suivant, la négation est exclusive parce que dans l’esprit stéréotypé des gens, il n’y a aucune autre possibilité :

- Ma femme vient d’accoucher
- C’est une fille ou un garçon ?

Dans ce cas, il est possible de traduire ou par \/ et de faire intervenir un loi de connaissance du monde (ou un stéréotype culturel) pour éliminer la possibilité fille et garçon.

Nous utiliserons la disjonction inclusive \/ pour tous les cas de disjonction.

Tableau 6 [La logique du raisonnement, G. Doyon et P.Talbot]

Les connecteurs logiques de disjonction

A) Pour marquer la disjonction non exclusive entre des propositions (p, q, r, .. .), on utilise selon les circonstances l’une des expressions suivantes:

p ou q ou les deux
p ou q
p et/ou q (surtout dans les textes juridiques

B) Pour marquer la disjonction exclusive entre deux propositions (pet q), on utilise l’une des expressions suivantes:

p ou q
p ou q mais pas les deux
p ou alors q
soit p, soit q
p à moins que q
p sauf si q
ou bien p ou bien q
Etc.

Ce soir, Jean fait son devoir de mathématique ou de français.=> Jean fait des math. \/ Jean fait du français
Il prendra son châr ou non=> C \/ ~C , C=Il prend son châr
Cette histoire est vraie ou fausse=> V \/ F
Stop ou encore.

L’implication -> C'est, en partie, l'équivalent du si en français. Là-dessus, il y a beaucoup à dire que nous réservons pour une prochaine section.

A

B

A -> B
1

V

V

V
2

F

F

V
3

F

V

V
4

V

F

F

Si : «A->B» sera faux si A est vrai et B est faux, vrai dans les autres cas.

Le cas (1) est plutôt évident A->B est vrai quand les deux propositions atomiques A et B sont vraies. Le cas (4) dit, par exemple, que si je sais qu'on est en novembre et qu'il ne fait pas chaud alors proposition Si on est en novembre, il fait chaud est fausse.
Les deux autres cas (2-3) peuvent sembler étranges. En fait, ils disent que de quelque chose de faux, on peut conclure n'importe quoi. Si les étapes d'une preuve sont valides, on passera toujours d'une proposition vraie à une proposition vraie: les cas (2-3) n'apparaîtreont jamais. Une autre façon de le voir, c'est par la figure de réthorique suivante:

Si tu sors avec Johnny Depp (Britney), moi, je sors avec Jean-Paul II.

On éructera cette proposition pour dire qu'on ne croit pas à l'antécédent (la proposition suivie de si). On se trouve à affirmer qu'à partir d'une proposition évidemment fausse pour nous, tout est possible.


Tableau 7 [La logique du raisonnement, G. Doyon et P.Talbot]

En supposant que p est l’antécédent et q le conséquent,

si p alors q
si p, q
lorsque p, q
q à condition que p
q pourvu que p
q si p
p implique q
p entraîne q
p implique matériellement q

L’implication double  <->

A

B

A <-> B

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

V

F

Si et seulement si : «A <-> B» peut-être vue comme une relation d'équivalence entre les propositions: A et B sont vrais en même temps et faux en même temps.

A <-> B est logiquement équivalent à A->B & B->A.

Tableau 7' [La logique du raisonnement, G. Doyon et P.Talbot]

En supposant que p est l’antécédent et q le conséquent,

p si et seulement si q
p ssi q
p si q et q si p
ne p que si q (unless)
p seulement si q
si p alors q et réciproquement
p est équivalent à q
p est matériellement équivalent à q

Etc.

Ajoutons à moins que, sauf, sans... : J'irai à Puerto Laputa à moins que je ne sois malade: Ce qui veut dire le seul cas où je n'irais pas, c'est un cas de maladie.
Vu autrement: Si je ne suis pas malade (=M), j'y vais (A) et si j'y vais, c'est que je ne suis pas malade: (~M->A) & (A->~M)

Les tables complexes: Nous venons de dire que A <->B était logiquement équivalent à A->B & B->A. Il arrivera à l'occasion qu'on veuille vérifier l'équivalence logique entre des propositions. Dans ce cas, on construit une table complexe avec les propositions atomiques à gauche, puis les propopositions complexes à droite. On assigne toutes les combinaisons de V et F aux atomes (nb. d'atomes2), ici 4 possibilités. Puis on calcule le résultat des propositions complexes et on vérifie si elles ont les mêmes valeurs. Ex:

A B A->B B->A A->B &B->A A<->B
V V V V V V
F F V V V V
V F F V F F
F V V F F F

On constate que les valeurs des deux dernières rangées concordent. Ce sont, dans les limites étroites de la logiques propositionnelles des paraphrases (des synonymes au niveau de la proposition.

Exercice: ~(A & B) et B -> ~A sont-ils logiquement équivalents?

A B (A&B) ~(A&B) ~A B -> ~A
V V        
F F        
V F        
F V        

Exercices 1: Doyon et Talbot, La logique du raisonnement pp165-169, Solutions

  1. Marie-Josée est majeure ou elle est mineure
  2. Si on est un être humain, alors on est un être mortel
  3. On ne peut nager sans se mettre à l'eau
  4. On est mineur si on a moins de 18 ans.
  5. En septembre Robert étudie à temps plein le jour, sauf s'il travaille à temps plein le jour
  6. Il est impossible d'enseigner au cégep sans détenir un diplôme universitaire=> Autrement dit, si on a un diplôme univ., on peut enseigner et si on peut enseigner, c'est qu'on a un diplôme univ.

    À partir d'ici, la partie soulignée sera représentée par une variable, pour faire joli
  7. Il est impossible qu'on soit marié Met à la fois célibataire C
  8. Si on ronfle R, alors on dort D
  9. On ne peut se concentrer Cdans le bruit Bet la distraction D.
  10. Le Québec se déclare pays indépendant I, sauf s'il demeure dans la confédération canadienne C
  11. Il est faux qu'une figure soit un triangle Tet que la somme de ses angles intérieurs dépasse 180 degrés D
  12. Ce billet de loterie affiche un numéro perdant P, à moins qu'il n'affiche un numéro gagnant G.
  13. Il y a une panne d'électricité ou l'ampoule a brûlé.
  14. On a un salaire Sque si on a un emploi E
  15. On ne peut honnêtement H devenir millionnaire du jour au lendemain M
  16. Soit que cette histoire est vraie; soit qu'elle est inventée de toutes pièces.
  17. On ne peut conduire de façon sécuritaire S en état d'ébriété E
  18. On est de bonne humeur Bpourvu qu'on sourie de bon coeur S
  19. Il est impossible que cette femme soit innocentée Idu crime dont on l'accuse et qu'à la fois ce témoin n'ait pas menti à la cour M.
  20. On est un bipède sans plume Bsi on est un être humain. H
  21. Si une barre de fer se dilate D, alors elle est chauffée C
  22. On ne peut être d'une logique implacable Let raisonner mal M
  23. Son village natal doit encore correspondre à ses souvenirs d'enfance S, à moins que le développement urbain moderne ne l'ait atteint A
  24. On ne fait pas de logique Lsans se remuer les méninges R.
  25. L'eau bout sous pression atmosphérique normale Bà condition que sa température atteigne 100° Celsius (A)
  26. On ne travaille pas intellectuellement (T) sans se concentrer (C).
  27. Ce couple marié finira par divorcer (D), à moins qu'il n'apprenne à mieux se respecter (R).
  28. La bravoure d'un soldat est reconnue (R) pourvu qu'il soit décoré (D)
  29. Isabelle viendra (V), mais elle sera en retard. (R)
  30. Je réussirai dans la vie (V) seulement si je réussis mes études (E)
  31. On ne développe pas ses talents (D) en demeurant inactif (I)

Exercices 2: Doyon et Talbot, La logique du raisonnement pp165-169, Solutions

  1. En septembre prochain, Paul étudiera à l'Université de Montréal, Mà moins qu'il n'aille à l'Université de Sherbrooke S
  2. La perte d'un être cher Prend toujours les gens tristes T.
  3. Mes vacances m'ont reposée R, quoique je ne les aie pas tellement appréciées (A).
  4. On est joueur de hockey professionnel HPdans la mesure où précisément on joue dans une équipe professionnelle EP.
  5. Un programme en Basic ne fonctionne Fque s'il ne contient pas d'erreur E
  6. L'étudiant qui prend au sérieux ses études S n'attend pas la dernière minute pour faire ses travaux DM
  7. On ne néglige Npas ses travaux scolaires sans en payer le prix P.
  8. Si on vote la gréve G, alors on participe au piquetage Pou on est inconséquent I
  9. Paul se mariera Met achètera une maison A, sauf s'il ne rencontre pas la femme de sa vie R
  10. Josée se mariera M, et elle aura un enfant rapidement E à moins qu'elle décide de consolider sa carrière d'infirmière C
  11. Johanne a changé de concentration C, mais si elle échoue encore deux cours E, elle ne pourra pas se réinscrire l'an prochain R.
  12. Si elle obtient un bonus B, Marie-Josée passera les vacances de Noël en Floride F, à moins qu'elle ne loue un chalet dans les Laurentides Let qu'elle fasse du ski alpin S
  13. Jean-Paul envisage sérieusement de laisser son emploi L et de retourner aux études R, quoiqu'il ne soit pas éligible aux prêts et bourses PB
  14. Il y aura trois élections partielles EPet le parti ministériel ne les perdra P que si sa cote de popularité a dramatiquement chuté C. Notons de plus qu'il a gagné les deux dernières GD.
  15. S'il est impossible qu'un galvanomètre détecte la présence d'un champ magnétique DMet qu'à la fois l'aiguille ne soit pas déviée AD, alors nécessairement un courant électrique circule dans le fil CC.
  16. Si un témoin fait un faux témoignage FT, alors s'il est démasqué D, il est poursuivi en justice P
  17. On ne pourra pas faire du ski de fond SFou du ski alpin SA pendant les vacances de Noël s'il ne neige pas suffisamment N
  18. Le sujet humain, quand il fait l'expérience de sa volonté EV, prend conscience de sa liberté CL. Dès lors, éprouvant sa volonté comme bonne VBou mauvaise VM, il accède au stade de la moralité M. Il n'y a pas de moralité Mpossible sans volonté libre VL
    a.Quand, dans une phrase générique (qui ne fait pas référence à une situation particulière) se traduit souvent par si
    b. Idem pour une proposition au participe, intyerprétable comme une cause.
  19. Si les entités mathématiques (p.ex. les nombres) obéissent à des lois Let s'il est impossible que ces lois fassent l'objet d'une découverte par le mathématicienD et qu'à la fois il les forge avec son imagination I, alors les entités mathématiques ont nécessairement une existence indépendante de la pensée humaine I.
  20. Toute connaissance humaine dérive des informations fournies par les sens S, sinon l'être humain possède des connaissances innées I. On ne peut faire dériver toute connaissance des sens Set à la fois expliquer de façon satisfaisante la connaissance des entités abstraites A. Par contre, on ne peut affirmer que l'Homme possède des connaissances innées Iet à la fois élaborer une théorie de la connaissance qui fait l'économie du postulat de l'existence de Dieu D Faire l'économie=négation .

Exercices 2.5: Dans les exercices précédents (les numéros sont indiqués), nous avons rencontré des formulations alternatives. Vérifiez si elles sont des paraphrases logiques (équivalences logiques) en vous servant des tableaux de vérité complexes: Solutions

Validité des inférences (arbres)

Ainsi que nous l'avons dit, l'essentiel de la logique se résume à donner une interprétation précise et univoque à certains mots (ici, &, \/, ~, ->, <->), à donner des règles permettant de décider de la validité des inférences et, pour le logicien et le matheux, des règles de démonstration (théorie de la preuve). Lorsqu'on se fie à l'intuition, dans les cas simples, on peut parfois dire si une inférence est valide ou non. Piatelli Palmerini (L'art de persuader, Ed.Odile Jacob) cite cependant des inférences simples dont on ne peut aisément décider de la validité. De même, lorsque l'inférence est plus complexe, l'intuition peut nous faire défaut. Par exemple, l'inférence suivante est-elle valide?

Formalisé, le passage se lit :

  1. W -> S & S-> W, (W \/ S) -> M, M |- W

Le raisonnement est-il valide ? Valide veut dire (comme nous l’avons dit dans la première partie) que si on accepte (=comme vraies) les prémisses, à gauche de |- , alors on doit accepter les conséquences (à droite de |-), ici W.

Une autre façon de le dire, plus proche de la technique des arbres, que nous allons utiliser: si les prémisses sont vraies alors les conséquences, ici W, ne peuvent être fausses. Cette deuxième formulation livre une méthode : il suffit de vérifier s'il est possible que les prémisses puissent être vraies et la (ou les) conclusion(s) fausse(s), c'est-à-dire de vérifier si les prémisses + la négation de la conclusion peuvent être vraies en même temps.
Lorsqu'on a affaire à un raisonnement valide, c'est strictement impossible: on aboutit à une contradiction. Par contre, si c’est possible alors on conclut que le raisonnement n’est pas valide.

Exemple: En d’autres mots, en (1) ci haut, pour vérifier si (1) ci haut est valide, on doit vérifier si l’ensemble W -> S & S-> W, (W \/ S) -> M, M, ~W (i.e. + la négation de la conclusion) peut être vrai ou s'il est contradictoire. S'il peut être vrai alors l'inférence n’est pas valide. S'il aboutit à une contradiction, ça veut dire qu'il est impossible d'accepter les prémisses tout en refusant le ou les conséquence(s): l'inférence est donc valide

Pour vérifier si ensemble W -> S & S-> W, (W \/ S) -> M, M, ~W est possible ou non, on utilise la technique des arbres, qui consiste à décomposer les propositions complexes en propositions simples, positives ou négatives (ex: A, ~B...). Il y a contradiction si l'ensemble contient une proposition et son contraire. Dans le processus, il peut y avoir des embranchements: A \/ B peut être vrai soit parce que A est vrai ou B est vrai. À la fin du processus de décomposition, soit qu’il y a contradiction dans tous les embranchements et on n’a prouvé la validité de l’inférence ou il y a un embranchement possible et l’inférence n’est pas valide.On arrête la décomposition si toutes les branches sont contradictoires (même s'il reste des formules à décomposer).

Commençons avec un exemple simple et preppy (nase, ringard, simp'e):

Si Paul étudiait (E),  il réussirait (R). Or il ne réussit pas. Donc, il n’étudie pas.

Remarque linguistique au vol: Notez que la formulation est non seulement ringarde mais scolaire: Si Paul étudiait (E),  il réussirait (R) suffit. Si on emploie l'imparfait, c'est qu'il n'étudie probablement pas, sinon on utiliserait le présent (Il n'étudie pas, il ne réussit donc pas). Ça ne fait pas partie du sens de l'imparfait. Ex: Si Paul étudiait à ce moment-là, il aura vu le malfrat. Demandons-lui. L'emploi de l'imparfait n'implique pas que le fait n'est pas vérifié. En fait, il faut tenir compte du contexte générique et des lois du discours pour conclure que Paul n'étudie pas.

Il faut donc vérifier la validité de E -> R, ~R |- ~E

Ce qui revient à montrer l’impossibilité de E -> R, ~R, ~ ~E  (=la négation de la conséquence)

Voici les huit règles de décomposition. Pour la logique des prédicats, on en ajoute quatre (Leblanc et Wisdom, Deductive Logic) :

{short description of image}

Ces règles couvrent tous les cas possibles. On peut vérifier qu'elles découlent directement des tables de vérité : ainsi, la 1e à gauche stipule que lorsque A->B est vrai, il y a deux possibilités : soit que A est Faux, autrement dit que ~A est Vrai, soit que B est Vrai. On coche après chaque décomposition, pour faire cochon. Au terme de la décomposition, on n'obtient que des propositions positives ou négatives qui se contredisent ou non.

Revenons à notre exemple et essayons donc de décomposer E -> R, ~R, ~ ~E  . Du point de vue statégique, on utilise d'abord les règles qui ne branchent pas (2-5-6-8) parce qu'elles introduisent moins de complexité et aboutissent plus vite à des contradictions. On a ~~E qui se réduit à E. On coche ~~E pour indiquer qu'il a été décomposé. On regarde si on trouve une proposition et son contraire. Si c'est les cas, on arrête: il y a contradiction. Ce n'est pas le cas ici. On poursuit.

E -> R, ~R, ~ ~E ü

E -> R ü, ~R, E

~E

x

Contradiction avec le E ci haut

R

x

Contradiction avec le ~R ci haut

~R est indécomposable. Il ne reste que E-> R à décomposer. On le coche. Il branche parce que -> peut être vrai dans deux cas a) soit que l'antécédent E est Faux (donc ~E est Vrai) soit que R est Vrai. D'où les deux chemins et tout ce qui précède est vrai dans les deux chemins. En réalité, ce sont des ensembles qui grossissent et peuvent se diviser parce qu'il y a des possibilités différentes. On vérifie pour voir s'il y a contradiction. Dans le chemin de gauche, on a ~E qui est en contradiction avec E plus haut. Donc cette branche est morte, contradictoire, on met un x. À droite, on a R, qui est lui aussi en contradiction avec ~R qui précède. Branche morte aussi. On arrête. Même s'il y avait d'autres formules à décomposer, elles ne feraient que s'ajouter à des ensembles contradictoires. On a démontré que l'ensemble E -> R, ~R, ~ ~E  est impossible et, par conséquent, que E -> R, ~R |- ~E est une inférence valide.

L’inférence Si Paul étudiait (E),  il réussirait (R). Or il ne réussit pas (~E). Donc (|-), il n’étudie pas (~R). et toutes celles qui ont cette forme sont valides.

Réglons le cas de Saddam et Bush. Si tout le monde faisait de la logique, le monde serait si paisible :-! Il faut vérifier si l'inférence suivante est valide:

W -> S & S-> W, (W \/ S) -> M, M |- W

Ce qui revient à vérifier:

W -> S & S-> W, (W \/ S) -> M, M , ~W (conséquence niée)

W -> S & S-> Wü, (W \/ S) -> M, M , ~W

W -> Sü, S-> Wü, (W \/ S) -> Mü, M , ~W

~W

S

~S

W

x

~S

x

W

x

~(W \/ S)

M

o

 

 

 

 

 Branche ouverte; plus de formules à décomposer: inférence invalide

 

 

 

On peut obtenir l'interprétation où les prémisses sont vraies et la conclusion fausse en assignant M=Vrai, S=Faux, W=Faux. Exercice: Faites cette table avec cette assignation seulement (donc deux lignes: les formules en haut et l'assignation M=Vrai, S=Faux, W=Faux en dessous.

Exercices 1Ces exercices sont en formules seulement : elles seront utiles dans la discussion linguistique plus loin à propos de ou en français.

  1. Vérifiez la validité de A \/ B |- (A \/ B) \/ C
    => Vérifiez la validité de A \/ B, ~[ (A \/ B) \/ C ]
    {short description of image}
    Toutes les branches sont fermées. Ensemble contradictoire. A \/ B |- (A \/ B) \/ C est valide.

  2. Vérifiez la validité de (A \/ B) \/ C |- A \/ B
    => Vérifiez la validité de (A \/ B) \/ C , ~[ A \/ B ]
    {short description of image}
    Ensemble cohérent, raisonnement invalide. Si on assigne C=vrai, A=faux et B=faux,
    on obtient une interprétation où (A \/ B) \/ C=vrai et A \/ B=faux.

  3. Vérifiez la validité de A \/\/ B |- (A \/\/ B) \/\/ C, ce qui revient à …
    Vérifiez la validité de A <-> ~B |- (A <-> ~B) <-> ~C
    => Vérifiez la validité de A <-> ~B, ~[ (A <-> ~B) <-> ~C]
    {short description of image}

    On obtient une branche ouverte dans laquelle toutes les formules ont été décomposées. L'inférence est donc invalide.
    On notera, pour plus tard, que \/ (1) et \/\/ (3) ne participent pas aux mêmes inférences

Remarque: On aurait pu aussi ajouter une règle de décomposition (branchante) pour A \/\/ B :

{short description of image}

Mais nous allons soutenir, avec De Cornulier, que le ou inclusif \/ suffit et que \/\/ dérive de lois pragmatiques.

Exercices 3: Formulez et vérifiez la validité de l'inférence. Solutions

  1. Si ce joueur de tennis a perdu P, c'est soit par son manque d'entraînement E ou par sa difficulté de concentration sur le terrain C. Or il semblait bien concentré sur le terrain. Donc, il ne pouvait perdre et être bien entraîné.
  2. Ou bien le gouvernement décrète des hausses d'impôts HI ou alors il réduit les services à la population RS. S'il décrète des hausses d'impôts, des salariés du privé seront congédiés PrC. S'il réduit les services à la population, des salariés du public seront congédiés PuC. Donc, il est impossible d'éviter des congédiements des salariés dans le privé et le public.
  3. Si les nouveaux hârs étaient mieux construits MC, alors ils dureraient plus longtemps DL. Par contre, s'ils duraient plus longtemps, les compagnies en vendraient moins VM. Mais les compagnies n'en vendent pas moins. Donc les nouveaux hârs ne sont pas mieux construits.
  4. Dans son dernier film, Miel Gibson a le choix entre conduire à vitesse normale VN ou faire de l'excès de vitesse EV. S'il fait de l'excès de vitesse, il risque un accident A et met la vie de son fils en danger FD. Mais, son fils asthmatique doit être conduit en vitesse à l'urgence Urg et s'il conduit à vitesse normale, il met la vie de son fils en danger. Donc, il ne peut ni conduire à vitesse normale ni faire de l'excès de vitesse sans mettre la vie de son fils en danger.
  5. Après son élection, Lulla a déclaré que si la situation économique est instable EI, les investissements étrangers seront peu nombreux IPN. Et, s'ils sont peu nombreux, alors, à moins qu'il n'y ait un coup d'état CE, le développement économique sera entravé DE. Selon les analystes, le développement économique n'est pas entravé. Donc, il n'y aura pas de coup d'état.
  6. Après son élection, Lulla a déclaré que si la situation économique est instable EI, les investissements étrangers seront peu nombreux IPN. Et, s'ils sont peu nombreux, alors, à moins qu'il n'y ait un coup d'état CE, le développement économique sera entravé DE. Selon les analystes, le développement économique n'est pas entravé. Donc la situation économique demeure stable

Exercices 4: Formulez et vérifiez la validité de l'inférence. Exemples à partir de formules (vous pouvez vous amuser à leur donner un équivalent linguistique) : Tirés de Leblanc et Wisdom Deductive Logic pp.70-71 Solutions

  1. P -> ~Q |- ~(P & Q)
  2. ~ (~P & Q) |- P \/ Q
  3. P <-> (Q <-> P) |- Q
  4. R \/ (P & Q), P -> (Q & R) |- R
  5. (Q & R) -> P, ~P & R, |- ~Q
  6. P <-> (Q \/ R), P <-> ~Q |- P <-> R
  7. (P <-> Q) \/ R, R \/ P |- ~ R & ~Q
  8. P <-> Q, R, |- (P & R) <-> R -> Q
  9. ~P -> (Q -> ~R), ~P-> Q, R |- P

(P & Q) -> R |- ~(R & ~Q) Si Marie vient au party et que Jules vienne aussi alors la bière sera toute bue. Donc, il est impossible que la bière soit toute bue et que Jules ne soit pas venu. Invalide : Q et R peuvent être vrais sans contradiction : si Marie ne vient pas, la bière peut avoir été toute bue sans qu'on puisse dire quoi que ce soit à propos de Jules. (P -> R) \/ (Q -> R) |- (P & Q ) -> R Valide P -> (Q-> R), P \/ (Q -> R), Q |- R ~(P -> ~Q), (Q \/ ~R) <-> P, P & (R -> Q) |- ~P \/ ~Q P-> Q |- (~P-> ~Q) ~(P & ~Q) |- Q \/ ~P

Exercices :

  1. On ne peut faire confiance à la fois en Saddam et en W. Josée fait confiance à Bush. Elle ne fait donc pas confiance à Saddam.
  2. On ne peut faire confiance à la fois en Saddam et en W. Josée ne fait pas confiance à Bush. Elle fait confiance à Saddam
  3. Il est impossible qu'on augmente son potentiel militaire et qu'on veuille la paix. Or W ne pense qu'à faire main basse sur le pétrole du monde et il ne veut pas la paix. Il est évident qu'il augmente son potentiel militaire.
  4. Si Josée réussit son cours de Sémantique, elle ne sera promue que si elle réussit aussi Logiciels de traitement de texte. Donc, si elle est sûre de réussir Logiciels si elle réussit Sémantique, alors elle sera promue si elle réussit Sémantique.
  5. Si la logique est sans pertinence, alors les math et la physique n'ont pas de pertinence non plus. Donc, si les math ou la physique ont une pertinence, alors la logique en a aussi.
  6. Si Marc-André est n'élu pas au conseil de module, Paul et Louise le seront. Si Marc-André ou Paul sont élus, alors Félicia démissionnera. Donc, Félicia démissionnera que Louise soit élue ou non.
  7. Si Dieu veut enrayer le Mal mais ne peut le faire, alors il est impuissant. S'il peut enrayer le Mal mais ne le fait pas, il est mauvais. Le Mal n'existe que si Dieu ne peut ou ne veut l'enrayer.Dieu n'existe que s'il n'est ni impuissant ni mauvais. Donc, si Dieu existe, le Mal n'existe pas (cf. le film Holy Smoke).
  8. L'augmentation des frais de scolarité n'est souhaitable que si les étudiants ne sont pas obligés de travailler. Mais si leurs revenus diminuent, les étudiants sont obligés de travailler. Donc soit que les revenu des étudiants ne diminuent pas soit que l'augmentation des frais de scolarité n'est pas souhaitable.

Exercices 1: Solutions

  1. Marie-Josée est majeure ou elle est mineure=> MJ est majeure \/ MJ est mineure (\/\/ aussi possible puisqu'on est soit l'un soit l'autre)
  2. Si on est un être humain, alors on est un être mortel=> On est un être humain -> on est un être mortel
  3. On ne peut nager sans se mettre à l'eau.=> On ne peut nager si ~on se met à l'eau=> ~on se met à l'eau -> ~on peut nager aussi: ~(~on nage & on se met à l'eau ) ou ~(on se met à l'eau & ~on nage) . Ce n'est pas un <->, parce qu'on peut aller à l'eau et ne pa nager.
  4. On est mineur si on a moins de 18 ans.=> on a moins de 18 ans -> on est mineur ou <-> par définition Là c'est une différence d'interprétation.
  5. En septembre Robert étudie à temps plein le jour, sauf s'il travaille à temps plein le jour.=>Sauf si se traduit par <-> et la négation de ce qui suit sauf=> En septembre Robert étudie à temps plein le jour <-> ~Robert travaille à temps plein le jour
  6. Il est impossible d'enseigner au cégep sans détenir un diplôme universitaire=> Autrement dit, si on a un diplôme univ., on peut enseigner et si on peut enseigner, c'est qu'on a un diplôme univ.=> on détient un diplôme universitaire <-> on peut enseigner
    Remarque: On peut interpréter la phrase de deux manières: Si E=on peut enseigner au Cégep et B=détenir un diplôme universitaire, alors E <-> B ou B w ~E. Par contre, si E=enseigner au Cégep et B=détenir un diplôme universitaire, alors ~(E & ~B) ou, l'équivalent E -> B.
    Lorsqu'on parle d'équivalents, on se trouve à affirmer que, logiquement (en ce qui concerne les faits rapportés) a. On enseigne au Cégep uniquement si on n'a un diplôme (<->) est équivalent à Ou bien on détient un diplôme univ. ou bien on ne peut enseigner au Cegep (w) b. Enseigner au Cégep et ne pas détenir de diplôme univ. est impossible est équivalent à Si on enseigne au C., c'est qu'on a un dipl. Dans le cas b, on peut avoir un Dipl. et ne pas enseigner alors qu'en a. on parle du droit d'enseigner (pouvoir).
    À partir d'ici, la partie soulignée sera représentée par une variable, pour faire joli
  7. Il est impossible qu'on soit marié Met à la fois célibataire C=> M <-> ~C aussi, l'équivalent logique ~(M & C)
  8. Si on ronfle R, alors on dort D=> R -> D
  9. On ne peut se concentrer Cdans le bruit Bet la distraction D=> (B & D) -> ~C aussi, l'équivalent logique ~(C & (B & D)).
  10. Le Québec se déclare pays indépendant I, sauf s'il demeure dans la confédération canadienne C.=> Encore une fois, sauf introduit le <-> et une négation=> I <-> ~C(I \/\/ C) aussi possible, équivalence logique
  11. Il est faux qu'une figure soit un triangle Tet que la somme de ses angles intérieurs dépasse 180 degrés D.=> ~(T & D)
  12. Ce billet de loterie affiche un numéro perdant P, à moins qu'il n'affiche un numéro gagnant G.=> à moins est synonyme de sauf dans ce contexte=> P <-> ~G(P \/\/ G) aussi possible
  13. Il y a une panne d'électricité ou l'ampoule a brûlé.=> \/ (ou le \/\/ exclusif, selon le contexte)
  14. On a un salaire Sque si on a un emploi E.=> Que introduit une restriction: le seul cas où on a un salaire...=> S <-> E
  15. On ne peut honnêtement H devenir millionnaire du jour au lendemain M.=> ~(H & M) ou ce qui et logiquement équivalent M -> ~Hou à H-> ~M. Faire une table complexe pour s'en convaincre.
  16. Soit que cette histoire est vraie; soit qu'elle est inventée de toutes pièces.=> \/ (ou le ou exclusif \/\/ )
  17. On ne peut conduire de façon sécuritaire S en état d'ébriété E=> ~ (S & E) ou ce qui et logiquement équivalent E -> ~S ou à S -> ~E. Faire une table complexe pour s'en convaincre.
  18. On est de bonne humeur Bpourvu qu'on sourie de bon coeur S=> Pourvu n'exclut pas qu'on puisse être de bonne humeur pour d'autres raisons: ce n'est donc pas le <->.=> S -> B
  19. Il est impossible que cette femme soit innocentée Idu crime dont on l'accuse et qu'à la fois ce témoin n'ait pas menti à la cour M.=> Le piège pour plusieurs est le n', que la plupart n'utilise plus à l'écrit.=> ~(I & ~M) ou I -> M
  20. On est un bipède sans plume Bsi on est un être humain. H=> H -> B
  21. Si une barre de fer se dilate D, alors elle est chauffée C=> D -> C
  22. On ne peut être d'une logique implacable Let raisonner mal M.=> ~(L & M)
  23. Son village natal doit encore correspondre à ses souvenirs d'enfance S, à moins que le développement urbain moderne ne l'ait atteint A=> S <-> ~A ou (S \/\/ A).
  24. On ne fait pas de logique Lsans se remuer les méninges R.=> Si on fait de la loogique, on se remue les méninges: L->R ou ~(L & ~R)
    La solution que j'avais proposée était trop forte: ce n,est pas parce qu'on se remue les méninges qu'on fait de la logiqueL <-> R ou l'équivalent ~L <-> ~R
  25. L'eau bout sous pression atmosphérique normale Bà condition que sa température atteigne 100° Celsius (A)=> B <-> A
  26. On ne travaille pas intellectuellement (T) sans se concentrer (C).=> ~C -> ~T ou ~(T & ~C)
  27. Ce couple marié finira par divorcer (D), à moins qu'il n'apprenne à mieux se respecter (R).=> D<->R
  28. La bravoure d'un soldat est reconnue (R) pourvu qu'il soit décoré (D)=> D -> R Talbot et Doyon: <-> Pour moi, pourvu veut dire une condition minimale, suffisante, n'excluant pas d'autres modes de reconnaissance. Je crois qu'ils lisent la phrase comme suit: La bravoure est reconnue, mais il faut qu'il soit décoré. Voir ce qu'en pense le p'tit Bob.
  29. Isabelle viendra (V), mais elle sera en retard. (R)=> V & R
  30. Je réussirai dans la vie (V) seulement si je réussis mes études (E)=> V <-> E
  31. On ne développe pas ses talents (D) en demeurant inactif (I)=> I -> ~D ou ~(D & I)

Exercices 2: Solutions

  1. En septembre prochain, Paul étudiera à l'Université de Montréal, Mà moins qu'il n'aille à l'Université de Sherbrooke S.=> Ici, Talbot et Doyon auraient dû antéposer la complétive à moins que...Le sens aurait été très clair: Paul ira ou bien à Sherbrooke ou bien à l'U de M=> M <-> ~S. Tel quel, une autre interprétation est possible, avec une intonation «ouverte»: Il ira à l'U de M, ou à Sherbrooke ou ailleurs. S -> ~M (mais ~M n'implique pas S puisqu'il y a d'autres possibilités). L'antéposition exclut cette interprétation, pour des raisons de pragmatique (l'information doit être maximale).
  2. La perte d'un être cher Prend toujours les gens tristes T.=> Si on perd qqn, on est triste P -> T
  3. Mes vacances m'ont reposée R, quoique je ne les aie pas tellement appréciées (A).=> R & ~A
  4. On est joueur de hockey professionnel HPdans la mesure où précisément on joue dans une équipe professionnelle EP.=> précisément a le même effet que uniquement: HP <-> EP
  5. Un programme en Basic ne fonctionne Fque s'il ne contient pas d'erreur E=> F <-> ~E
  6. L'étudiant qui prend au sérieux ses études S n'attend pas la dernière minute pour faire ses travaux DM=> C'est pas moi qui le dit! S -> ~DM
  7. On ne néglige Npas ses travaux scolaires sans en payer le prix P.=> N -> P ou ~(N & ~P) ou ~N \/\/ P
  8. Si on vote la gréve G, alors on participe au piquetage Pou on est inconséquent I=> Piège: si on vote, on piquète (!) ou on ne piquète pas et on est inconséquent: (G -> (P \/\/ (~P & I) ) ou l'équivalent (G-> (P <->~I))
  9. Paul se mariera Met achètera une maison A, sauf s'il ne rencontre pas la femme de sa vie R=> (M & A) <-> ~R
  10. Josée se mariera, et elle aura un enfant rapidement à moins qu'elle décide de consolider sa carrière d'infirmière=> Comme en (1), deux possibilités: (M & E) <-> ~C ou bien C-> ~(M & E)
  11. Johanne a changé de concentration C, mais si elle échoue encore deux cours E, elle ne pourra pas se réinscrire l'an prochain R.=> C & (E -> ~R)
  12. Si elle obtient un bonus B, Marie-Josée passera les vacances de Noël en Floride F, à moins qu'elle ne loue un chalet dans les Laurentides Let qu'elle fasse du ski alpin S=> Comme en (1), deux possibilités: B-> ( (L & S) <-> ~F) ou l'équivalent B-> ( (L & S) \/\/ F) ou interprétation ouverte: B-> ( (L & S) -> ~F)
  13. Jean-Paul envisage sérieusement de laisser son emploi L et de retourner aux études R, quoiqu'il ne soit pas éligible aux prêts et bourses PB=> (L & R) & ~PB
  14. Il y aura trois élections partielles EPet le parti ministériel ne les perdra P que si sa cote de popularité a dramatiquement chuté C. Notons de plus qu'il a gagné les deux dernières GD.=> EP & (P<->C), GD
  15. S'il est impossible qu'un galvanomètre détecte la présence d'un champ magnétique DMet qu'à la fois l'aiguille ne soit pas déviée AD, alors nécessairement un courant électrique circule dans le fil CC. Nécessairement exclut toute autre possibilité ~(DM & ~AD) <-> CC
  16. Si un témoin fait un faux témoignage FT, alors s'il est démasqué D, il est poursuivi en justice P=> FT-> (D -> P)
  17. On ne pourra pas faire du ski de fond SFou du ski alpin SA pendant les vacances de Noël s'il ne neige pas suffisamment N=> ~N -> ~(SF \/ SA)
  18. Le sujet humain, quand il fait l'expérience de sa volonté EV, prend conscience de sa liberté CL. Dès lors, éprouvant sa volonté comme bonne VBou mauvaise VM, il accède au stade de la moralité M. Il n'y a pas de moralité Mpossible sans volonté libre VL
    a.Quand, dans une phrase générique (qui ne fait pas référence à une situation particulière) se traduit souvent par si
    b. Idem pour une proposition au participe, intyerprétable comme une cause.
    => EV -> CL, (VB \/ VM)-> M, M <-> VL
  19. Si les entités mathématiques (p.ex. les nombres) obéissent à des lois Let s'il est impossible que ces lois fassent l'objet d'une découverte par le mathématicienD et qu'à la fois il les forge avec son imagination I, alors les entités mathématiques ont nécessairement une existence indépendante de la pensée humaine I. L & ~(D & I) <-> I
  20. Toute connaissance humaine dérive des informations fournies par les sens S, sinon l'être humain possède des connaissances innées I. On ne peut faire dériver toute connaissance des sens Set à la fois expliquer de façon satisfaisante la connaissance des entités abstraites A. Par contre, on ne peut affirmer que l'Homme possède des connaissances innées Iet à la fois élaborer une théorie de la connaissance qui fait l'économie du postulat de l'existence de Dieu D Faire l'économie=négation . S<->~I, ~(S & A), ~(I & ~D)

Exercices 2.5: Dans les exercices précédents (les numéros sont indiqués), nous avons rencontré des formulations alternatives. Vérifiez si elles sont des paraphrases logiques (équivalences logiques) en vous servant des tableaux de vérité complexes: Solutions

Exercices 3: Formulez et vérifiez la validité de l'inférence.

  1. Si ce joueur de tennis a perdu P, c'est soit par son manque d'entraînement E ou par sa difficulté de concentration sur le terrain C. Or il semblait bien concentré sur le terrain. Donc, il ne pouvait perdre et être bien entraîné.
    P -> (~E \/ ~C), C |- ~(P & E)
    => P -> (~E \/ ~C), C, ~ ~(P & E)
    {short description of image}
    Valide.
  2. Ou bien le gouvernement décrète des hausses d'impôts HI ou alors il réduit les services à la population RS. S'il décrète des hausses d'impôts, des salariés du privé seront congédiés PrC. S'il réduit les services à la population, des salariés du public seront congédiés PuC. Donc, il est impossible d'éviter des congédiements des salariés dans le privé et le public.
    HI <-> ~RS, HI -> PrC, RS -> PuC |- ~(~PrC & ~PuC)
    Remarque : HI \/\/ RS au lieu de HI <-> ~RS donnera la même chose.
    => HI <-> ~RS, HI -> PrC, RS -> PuC, ~ ~(~PrC & ~PuC)
    {short description of image}
    Valide
  3. Si les nouveaux hârs étaient mieux construits MC, alors ils dureraient plus longtemps DL. Par contre, s'ils duraient plus longtemps, les compagnies en vendraient moins VM. Mais les compagnies n'en vendent pas moins. Donc les nouveaux hârs ne sont pas mieux construits.
    MC -> DL, DL-> VM, ~VM |- ~MC
    => MC -> DL, DL-> VM, ~VM, ~ ~MC
    {short description of image}
    Valide
  4. Dans son dernier film, Miel Gibson a le choix entre conduire à vitesse normale VN ou faire de l'excès de vitesse EV. S'il fait de l'excès de vitesse, il risque un accident A et met la vie de son fils en danger FD. Mais, son fils asthmatique doit être conduit en vitesse à l'urgence Urg et s'il conduit à vitesse normale, il met la vie de son fils en danger. Donc, il ne peut ni conduire à vitesse normale ni faire de l'excès de vitesse sans mettre la vie de son fils en danger.
    VN <-> ~EV, EV -> (A & FD), Urg & (VN-> FD) |- ~( (VN \/ EV) & ~FD)
    =>VN <-> ~EV, EV -> (A & FD), Urg & (VN-> FD), ~ ~( (VN \/ EV) & ~FD)
    {short description of image}
    Valide
  5. Après son élection, Lulla a déclaré que si la situation économique est instable EI, les investissements étrangers seront peu nombreux IPN. Et, s'ils sont peu nombreux, alors, à moins qu'il n'y ait un coup d'état CE, le développement économique sera entravé DE. Selon les analystes, le développement économique n'est pas entravé. Donc, il n'y aura pas de coup d'état.
    EI- > IPN, IPN-> (DE <-> ~CE), ~DE |- ~CE
    => EI- > IPN, IPN-> (DE <-> ~CE), ~DE, ~ ~CE
    {short description of image}
    Invalide
  6. Après son élection, Lulla a déclaré que si la situation économique est instable EI, les investissements étrangers seront peu nombreux IPN. Et, s'ils sont peu nombreux, alors, à moins qu'il n'y ait un coup d'état CE, le développement économique sera entravé DE. Selon les analystes, le développement économique n'est pas entravé. Donc la situation économique demeure stable
    EI- > IPN, IPN-> (DE <-> ~CE), ~DE |- ~EI
    => EI- > IPN, IPN-> (DE <-> ~CE), ~DE, ~ ~EI )
    {short description of image}
    Invalide

Exercices 4: Formulez et vérifiez la validité de l'inférence. Exemples à partir de formules (vous pouvez vous amuser à leur donner un équivalent linguistique) : Tirés de Leblanc et Wisdom Deductive Logic pp.70-71

  1. P -> ~Q |- ~(P & Q)
    => P -> ~Q, ~ ~(P & Q)
    {short description of image}
    Valide

  2. ~ (~P & Q) |- P \/ Q
    => ~ (~P & Q) , ~(P \/ Q)
    {short description of image}
    Invalide

  3. P <-> (Q <-> P) |- Q
    => P <-> (Q <-> P), ~Q
    {short description of image}
    Valide

  4. R \/ (P & Q), P -> (Q & R) |- R
    => R \/ (P & Q), P -> (Q & R), ~R
    {short description of image}
    Valide

  5. (Q & R) -> P, ~P & R, |- ~Q
    =>(Q & R) -> P, ~P & R, ~~Q
    {short description of image}
    Valide

  6. P <-> (Q \/ R), P <-> ~Q |- P <-> R
    => P <-> (Q \/ R), P <-> ~Q , ~(P <-> R)
    {short description of image}
    Valide
  7. (P <-> Q) \/ R, R \/ P |- ~ R & ~Q
    => (P <-> Q) \/ R, R \/ P, ~( ~ R & ~Q)
    {short description of image}
    Invalide
  8. P <-> Q, R, |- (P & R) <-> (R -> Q)
    => P <-> Q, R, ~[(P & R) <-> (R -> Q)]
    {short description of image}
    Valide
  9. ~P -> (Q -> ~R), ~P-> Q, R |- P
    => ~P -> (Q -> ~R), ~P-> Q, R, ~P
    {short description of image}
    Valide